Hajaantuva sarja

Hajaantuva sarja määritellään matematiikassa äärettömänä, ei-suppenevana sarjana. Tämä tarkoittaa, ettei äärettömien lukujonojen sarjojen osasummilla ole raja-arvoa.

Sarja voi supeta vain, jos sen yksittäiset jäsenet lähestyvät nollaa. Toisin sanoen kaikki sarjat, joiden yksittäiset jäsenet eivät lähesty nollaa, hajaantuvat. Kuitenkaan eivät kaikki sellaisetkaan sarjat, joiden termit lähestyvät nollaa, suppene. Yksinkertaisin vastaesimerkki on harmoninen sarja.

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.}$

Nicole Oresme todisti harmonisen sarjan hajaantumisen jo keskiajalla.

Joissakin erityistapauksista sarjoille löytyy valmiiksi ratkaistu raja-arvo. Esimerkiksi Cesàron summa yhdistää Grandin hajaantuvan sarjan

${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$

lukuarvoon ½ . Cesàron summaa käytetään sarjojen jatkuvuutta arvioidessa.